• El logaritmo en base \(10\) de \(1000\) es \(3\) porque \(10^3 = 1000\):

  $$ \log_{10}(1000) = 3$$

• El logaritmo en base \(5\) de \(125\) es \(3\) porque \(5^3 = 125\):

  $$ \log_{5}(125) = 3 $$

• El logaritmo en base \(10\) de \(1\) es \(0\) porque \(10^0 = 1\):

  $$ \log_{10}(1) = 0 $$

Observad de que se trata de una función que siempre crece: primero lo hace muy rápidamente (\(0< x \leq 1\)) y después muy lentamente (\(x \geq 1\)).

Observad que el compartamiento de la función es similar al del logaritmo decimal, pero el crecimiento es ahora menos exagerado: no crece tan rápidamente en \(0< x \leq 1\) y crece menos lentamente en \(x \geq 1\).

El comportamiento de la función es también similar al de los logaritmos anteriores.

Observad que este logaritmo es decreciente.

Observad también la escala de la gráfica.

Todos los argumentos son potencias de \(10\), así que el resultado del logaritmo es el exponente de su argumento:

1. \( \log_{10}(1)\)

   Como \(1 = 10^0\),

   $$ \log_{10}(1) = \log_{10}(10^0) = 0 $$

2. \( \log_{10}(100)\)

   El número \(100\) es la potencia \(10^2\) (el exponente es el número de ceros). Por tanto,

   $$ \log_{10}(100) = \log_{10}(10^2) = 2 $$

3. \( \log_{10} \left(\frac{1}{100}\right) \)

   Recordad que el exponente negativo es la inversa de una fracción. La fracción puede escribirse como una potencia de \(10\):

   $$ \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$$

   Por tanto, el logaritmo es

   $$ \log_{10} \left(\frac{1}{100}\right) = \log_{10}(10^{-2}) = -2$$

4. \( \log_{10}(0.1)\)

   El número decimal \(0.1\) es la fracción \(1/10\), es decir, la potencia \(10^{-1}\). Por tanto,

   $$ \log_{10}(0.1) = \log_{10}(10^{-1}) = -1 $$

5. \( \log_{10}(0.001)\)

   El número decimal \( 0.001 \) es la potencia \(10^{-3}\) (el exponente es el número de ceros). Por tanto,

   $$ \log_{10}(0.001) = \log_{10}(10^{-3}) = -3 $$

Todos los argumentos son potencias de \(2\), así que el resultado del logaritmo es el exponente de su argumento:

1. \( \log_{2}(1)\)

   Como el número \(1\) es la potencia \(2^0\),

   $$ \log_{2}(1) = \log_{2}(2^0) = 0 $$

2. \( \log_{2}(8)\)

   Como el número \(8\) es la potencia \(2^3\),

   $$ \log_{2}(8) = \log_{2}(2^3) = 3 $$

3. \( \log_{2}\left(\frac{1}{32}\right) \)

   El denominador es una potencia de \(2\):

   $$ \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$$

   Por tanto,

   $$ \log_{2} \left(\frac{1}{32}\right) = \log_{2} (2^{-5}) = -5 $$

4. \( \log_{2}(0.25)\)

   Como el número decimal \(0.25\) es el resultado de la división \(1/4\) y esta fracción es \(2^{-2}\),

   $$ \log_{2}(0.25) = \log_{2} (2^{-2}) = -2 $$

5. \( \log_{2}(0.5)\)

   El número decimal \(0.25\) es la fracción \(1/2\), es decir, la potencia \(2^{-1}\). Por tanto,

   $$ \log_{2}(0.5) = \log_{2} (2^{-1}) = -1 $$

1. \( \log_{3}(27)\)

   Como \(27= 3^3\), el resultado es \(3\):

   $$ \log_{3}(27) = 3 $$

2. \( \log_{5}(0.2)\)

   Como \(0.2 = 1/5 = 5^{-1}\), el resultado es \(-1\):

   $$ \log_{5}(0.2) = -1 $$

3. \( \log_{6}(2^2\cdot 3^2)\)

   El argumento es \(36\) ya que

   $$ 2^2\cdot 3^2 = 4\cdot 9 = 36 $$

   Como \(36 =6^2\), el resultado es \(2\):

   $$ \log_{6}(2^2\cdot 3^2) = 2$$

4. \( \log_{7} \left( \frac{1}{49} \right) \)

   Como \(49 = 7^2\), la fracción es \(7^{-2}\) y el resultado del logaritmo es \(-2\):

   $$ \log_{7} \left( \frac{1}{49} \right) = -2 $$

5. \( \log_{9}(1)\)

   Como \(1 = 9^0\), el logaritmo es \(0\):

   $$ \log_{9}(1) = 0 $$

Antes de empezar, recordad que el logaritmo en base \(b\) de \(a\) es igual a \(c\) si \(b^c = a\).

Como nosotros conocemos \(b\) y \(c\), para calcular la incógnita \(x\) (que está en \(c\)) resolveremos la ecuación

$$ b^c = a $$

1. \( \log_{e}( x+1 ) = 2\)

   El logaritmo natural (base \(e\)) de \(x+1\) es \(2\) cuando

   $$ e^2 = x + 1 $$

   Por tanto, la incógnita \(x\) debe ser \(x = e^2-1\).

2. \( \log_{3}( x^3 ) = 3\)

   El logaritmo en base \(3\) de \(x^3\) es \(3\) cuando

   $$ 3^3 = x^3 $$

   Por tanto, la incógnita debe ser \(x = 3\).

3. \( \log_{5} ( x + 1 ) = 2 \)

   El logaritmo en base \(5\) de \(x+1\) es \(2\) cuando

   $$ 5^2 = x +1 $$

   Resolvemos la ecuación:

   $$ 25 = x +1 $$

   $$ 25 -1 = x $$

   $$ 24 = x $$

   Por tanto, la incógnita debe ser \(x = 24\).

4. \( \log_{10}( 3x +1 ) = 2\)

   Resolvemos la ecuación

   $$ 10^2 = 3x +1 $$

   $$ 100 = 3x +1 $$

   $$ 100-1 = 3x $$

   $$ 99 = 3x $$

   Recordad que el coeficiente \(3\) de la incógnita pasa dividiendo:

   $$ x = \frac{99}{3} = 33 $$

5. \( \log_{e}( 1 -2x ) = 5\)

   Resolvemos la ecuación

   $$ e^5 = 1-2x $$

   $$ 2x = 1 -e^5 $$

   El coeficiente \(2\) de la incógnita pasa dividiendo:

   $$ x = \frac{1-e^5}{2} $$

En la definición del logaritmo (al comienzo de la página) dijimos que la base de un logaritmo tiene que ser un número positivo y distinto de \(1\):

$$ b > 0, b\neq 1 $$

Sabemos que la potencia con exponente \(0\) de cualquier número \(b\) es \(1\):

$$ b^0 = 1 $$

Por tanto, el logaritmo de \(1\) siempre es \(0\):

$$ \log_b (1) = \log_b (b^0) = 0 $$

El logaritmo decimal toma valores entre \(0\) y \(1\) cuando su argumento está entre \(1\) y \(10\).

Por ejemplo, la raíz cuadrada de \(10\) es un número (irracional) entre \(1\) y \(10\):

$$ \sqrt{10} \approx 3.162$$

Recordad que una raíz puede escribirse como una potencia:

$$ \sqrt{10} = 10 ^{\frac{1}{2}} = 10^{0.5} $$

Por tanto, su logaritmo está entre \(0\) y \(1\):

$$ \log (\sqrt{10} ) = \log (10^{0.5}) = 0.5 $$

En el problema anterior nos hicimos la misma pregunta pero con el logaritmo en base \(10\). Dijimos que el logaritmo toma un valor entre \(0\) y \(1\) cuando su argumento está entre \(1\) y \(10\).

Podemos extender este razonamiento para cualquier base \(b\):

El logaritmo en base \(b\) toma un valor entre \(0\) y \(1\) cuando su argumento está entre \(1\) y \(b\).

Ejemplos:

• \( \log_2 ( \sqrt{2}\approx 1.414 ) = \log_2 ( 2^{0.5} ) = 0.5 \)

• \( \log_5 ( \sqrt{5}\approx 2.236 ) = \log_5 ( 5^{0.5} ) = 0.5 \)

• \( \log_e ( \sqrt{e}\approx 1.649 ) = \log_e ( e^{0.5} ) = 0.5 \)

Recordad que el logaritmo decimal de una potencia de \(10\) con exponente negativo tiene resultado negativo. Por ejemplo,

$$ \log_{10} (10^{-1}) = -1 $$

$$ \log_{10} (10^{-2}) = -2 $$

$$ \log_{10} (10^{-3}) = -3 $$

Estos números tienen en común que son números que están entre \(0\) y \(1\):

$$ 10^{-1} = 0.1 $$

$$ 10^{-2} = 0.01 $$

$$ 10^{-3} = 0.001 $$

$$ 10^{-1.5} \approx 0.032 $$

Los logaritmos (en cualquier base \(b > 1\)) tienen resultado negativo cuando su argumento es un número entre \(0\) y \(1\).

Observando la gráfica, cuanto más se aproxima el argumento a \(0\), el logaritmo decrece más. Es decir, tiende a menos infinito:

$$ \lim_{x\to 0} \log (x) = -\infty $$

Observad los siguientes logaritmos:

$$ \log_{10} (10^{-1}) = \log_{10} (0.1) = -1$$

$$ \log_{10} (10^{-2}) = \log_{10} (0.01) = -2 $$

$$ \log_{10} (10^{-3}) = \log_{10} (0.001) = -3 $$

$$ \log_{10} (10^{-100}) = \log_{10} (0.00…01) = -100 $$

La primera relación es cierta porque ya hemos visto en las gráficas que los logaritmos son funciones crecientes y, por tanto, cuando mayor es su argumento, mayor es su resultado.

También dijimos anteriormente que cuando mayor es la base \(b\) de un logaritmo, más pequeño es su resultado para el mismo argumento siempre que \( x \geq 1\). Así que la segunda relación también es cierta.