Escribimos \(3\) y \(1\) como logaritmos en base \(10\):

$$ 3 = \log_{10} (10^3) = \log_3 (1000) $$

$$ 1 = \log_{10} (10^1) = \log_3 (10) $$

Así el sistema queda como

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_{10} \left( x\cdot y\right) &=& \log_3 (1000) \\ \log_{10} \left( \frac{x}{y} \right) &=& \log_3 (10) \end{matrix} \right. $$

Al estar escrito de este modo el sistema, obtenemos dos ecuaciones al igualar los argumentos de los logaritmos:

$$ \left\{ \begin{matrix} x\cdot y &=& 1000 \\ \frac{x}{y} &=& 10 \end{matrix} \right. $$

Observad que no es un sistema de ecuaciones lineales.

De la segunda ecuación tenemos

$$ x = 10y $$

Sustituimos en la primera:

$$ x\cdot y = 1000 $$

$$ 10y^2 = 1000$$

$$ y^2 = 100 $$

Hacemos la raíz cuadrada (no olvidéis los signos):

$$ y = \pm 10 $$

Si \(y = 10\), entonces \(x = 100\). Y si \(y = -10\), \( x = -100\). Observad que ambas soluciones son válidas porque no hacen que los argumentos de los logaritmos sean no positivos.

El sistema de ecuaciones logarítmicas tiene dos soluciones:

La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& -100 \\ y &=& -10 \end{matrix} \right. $$

Y también

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 100 \\ y &=& 10 \end{matrix} \right. $$

Si escribimos \(2\) y \(1\) como logaritmos en base \(2\),

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_2 (x) + \log_2 (y) &=& \log_2 (4) \\ \log_2 (2x) - \log_2 (y) &=& \log_2 (2) \end{matrix} \right. $$

En la primera ecuación, sumamos los logaritmos; en la segunda, los restamos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_2 (x\cdot y) &=& \log_2 (4)\\ \log_2 \left( \frac{2x}{y} \right) &=& \log_2 (2) \end{matrix} \right. $$

De la primera ecuación tenemos (igualando los argumentos):

$$ xy = 4 \rightarrow y = \frac{4}{x} $$

Y de la segunda,

$$ \frac{2x}{y} = 2 $$

Sustituimos \( y = 4/x\) en la segunda ecuación obtenida:

$$ \frac{2x}{4/x} = 2 $$

$$ x^2 = 4 $$

Por tanto, \(x =2\) y \(x = -2\). La solución negativa no es válida porque no puede haber argumentos negativos.

Calculamos \(y\) a partir de \(x = 2\):

$$ y = \frac{4}{x} = 2 $$

La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 2 \\ y &=& 2 \end{matrix} \right. $$

Escribimos el \(2\) y el \(1\) de las ecuaciones como logaritmos en base \(5\):

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_5 (x) + \log_5 (y) &=& \log_5(25) \\ 2\log_5 (x) - \log_5 ( y ) &=& \log_5(5) \end{matrix} \right. $$

Sumamos los logaritmos de la primera ecuación:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_5 (x\cdot y) &=& \log_5(25) \\ 2\log_5 (x) - \log_5 ( y ) &=& \log_5(5) \end{matrix} \right. $$

Introducimos el 2 de la segunda ecuación como exponente del argumento para poder restar los logaritmos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_5 (x\cdot y) &=& \log_5(25) \\ \log_5 (x^2) - \log_5 ( y ) &=& \log_5(5) \end{matrix} \right. $$

Restamos los logaritmos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_5 ( x\cdot y ) &=& \log_5(25) \\ \log_5 \left( \frac{x^2}{y} \right) &=& \log_5(5) \end{matrix} \right. $$

Igualando los argumentos, tenemos las ecuaciones

$$ \left\{ \begin{matrix} x\cdot y &=& 25 \\ \frac{x^2}{y} &=& 5 \end{matrix} \right. $$

Aislamos \(x\) en la primera ecuación,

$$ x = \frac{25}{y} $$

Su cuadrado es:

$$ x^2 = \frac{625}{y^2} $$

Sustituimos \(x^2\) en la segunda ecuación:

$$ \frac{x^2}{y} = 5 $$

$$ \frac{625}{y^3} = 5 $$

$$ 625 = 5y^3 $$

$$ y^3 = \frac{625}{5} = 125$$

$$ y = \sqrt[3]{125} $$

$$ y = 5 $$

Calculamos la otra incógnita:

$$ x = \frac{25}{y} $$

$$ x = \frac{25}{5} = 5 $$

La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 5 \\ y &=& 5 \end{matrix} \right. $$

Cada ecuación tiene los logaritmos en una base, pero esto no es un problema porque podemos sumar y restar los logaritmos de cada ecuación.

En ambas ecuaciones, escribimos \(1\) como un logaritmo:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 (3x) - \log_3 (y-2) &=& \log_3 (3) \\ \log_5 (y) + \log_5 (x-2) &=& \log_5 (5) \end{matrix} \right. $$

Restamos y sumamos, respectivamente, los logaritmos de cada ecuación:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 \left( \frac{3x}{y-2} \right) &=& \log_3 (3) \\ \log_5 ( y\cdot (x-2) ) &=& \log_5 (5) \end{matrix} \right. $$

Igualando argumentos de la primera ecuación,

$$ \frac{3x}{y-2} = 3 $$

Y de la segunda,

$$ y\cdot (x-2) = 5 $$

Aislamos \(x\) en la primera ecuación obtenida:

$$ \frac{3x}{y-2} = 3 $$

$$ x = y - 2 $$

La sustituimos en la segunda:

$$ y\cdot (x-2) = 5 $$

$$ y\cdot (y -2 -2) = 5 $$

$$ y\cdot (y -4) = 5 $$

$$ y^2 -4y -5 = 0 $$

La ecuación de segundo grado obtenida tiene dos soluciones: \(y = -1\) e \(y = 5\). La primera queda descartada porque el argumento de un logaritmo no puede ser negativo.

Calculamos \(x\) a partir de \(y = 5\):

$$ x = y -2 = $$

$$ = 5 -2 = 3 $$

La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 3 \\ y &=& 5 \end{matrix} \right. $$

Escribimos el 2 y el 1 como logaritmos en base 3:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 ( x -2y ) - \log_3 ( y-2 ) &=& \log_3(9) \\ \log_3 ( 5y+2 ) - \log_3 ( y+4 ) &=& \log_3(3) \end{matrix} \right. $$

Restamos los logaritmos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 \left( \frac{x -2y}{y-2} \right) &=& \log_3(9) \\ \log_3 \left( \frac{5y+2}{y+4} \right) &=& \log_3(3) \end{matrix} \right. $$

Igualamos los argumentos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \frac{x -2y}{y-2} &=& 9 \\ \frac{5y+2}{y+4} &=& 3 \end{matrix} \right. $$

Resolvemos la segunda ecuación:

$$ \frac{5y+2}{y+4} = 3 $$

$$ 5y +2 = 3y + 12 $$

$$ 2y = 10 $$

$$ y = 5 $$

Sustituimos \(y = 5 \) en la primera ecuación:

$$ \frac{x -2y}{y-2} = 9 $$

$$ \frac{x -10}{3} = 9 $$

$$ x-10 = 27 $$

$$ x = 37 $$

La solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 37 \\ y &=& 5 \end{matrix} \right. $$

Escribimos \(0\) y \(1\) como logaritmos en base \(3\); el 2 de la primera ecuación lo escribimos en el argumento del logaritmo al que multiplica:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 (x^2) - \log_3 (2x+y+1) &=& \log_3(1) \\ \log_3 (3y-x) &=& \log_3(3) \end{matrix} \right. $$

Restamos los logaritmos de la primera ecuación:

$$ \left\{ \begin{matrix} \log_3 \left( \frac{x^2}{ 2x+y+1 } \right) &=& \log_3(1) \\ \log_3 (3y-x) &=& \log_3(3) \end{matrix} \right. $$

Igualamos los argumentos:

$$ \left\{ \begin{matrix} \frac{x^2}{ 2x+y+1 } &=& 1 \\ 3y-x &=& 3 \end{matrix} \right. $$

Operamos un poco:

$$ \left\{ \begin{matrix} x^2 &=& 2x+y+1 \\ x &=& 3y-3 \end{matrix} \right. $$

Sustituimos \(x = 3y-3\) en la primera ecuación:

$$ x^2 = 2x+y+1 $$

$$ (3y-3)^2 = 2(3y-3) + y +1 $$

Operamos y obtenemos la ecuación de segundo grado completa

$$ 9y^2 -25y +14 = 0 $$

Cuyas soluciones son

$$ y = \frac{7}{9}, \ y =2 $$

Para cada valor, calculamos \(x\), obteniendo una única solución para el sistema de ecuaciones logarítmicas:

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& 3 \\ y &=& 2 \end{matrix} \right. $$

Y la otra solución del sistema (de ecuaciones no logarítmicas) que se obtiene no es válida:

$$ \left\{ \begin{matrix} x &=& -\frac{2}{3} \\ y &=& \frac{7}{9} \end{matrix} \right. $$